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対称式の基本定理 page. 1 ♦ 対称式の基本定理とその証明 1 対称式とは x, y の多項式のうち, x と y を入れ替えても, 元の式と同じになるものを対称式と いう. 例えば, x2 +y2, xy, 1 x + 1 y は対称式である. x−y, x2 −y2, x+2y は対称式でない. 文字が 3 文字でも, 同じことを考えられる. x, y, z の多項式のうち, x, y, z を好きな ように入れ替えても, 元の式と同じになるものを対称式という. 例えば, x2 + y2 + z2, xyz, 1 xy + 1 yz + 1 zx は対称式である. x − y + z, x2 − y2 + z2, x + y + z2 は対称式でない. 文 字 が n 文 字 で も, 同 じ こ と を 考 え ら れ る. x1, x2, · · · , xn の 多 項 式 の う ち, x1, x2, · · · , xn を好きなように入れ替えても, 元の式と同じになるものを 対称式という. 2 基本対称式とは 定義 n 個の変数 {x1, x2, · · · , xn} から, k 個の変数を選んで掛け合わせて k 次の単項式を作る. この 時, k 個の変数の組み合わせを全て考えて, k 次の単項式を足し合わせてできた対称式を基本対称式と いい σk(x1, x2, · · · , xn) と表す. すなわち, σ1(x1, x2, · · · , xn) = x1 + x2 + · · · + xn σ2(x1, x2, · · · , xn) = x1x2 + x1x3 + · · · + x1xn + x2x3 + · · · + xn−1xn σ3(x1, x2, · · · , xn) = x1x2x3 + x1x2x4 + · · · + xn−2xn−1xn · · · σn(x1, x2, · · · , xn) = x1x2x3 · · · xn σk(x1, x2, · · · , xn) は, 変数 {x1, x2, · · · , xn} からなる n 変数関数である. 単に σk と略記することもある. 難しく見えるが, 具体例に置き換えてみよう. 2 個の変数 x, y のとき, ◀ σ1, σ2 は, x, y の関 数. {σ1(x, y) = x + y σ2(x, y) = xy written by faℓ
対称式の基本定理 page. 2 3 個の変数 x, y, z のとき, ◀ σ1, σ2, σ3 は, x, y, z の関数. σ1(x, y, z) = x + y + z σ2(x, y, z) = xy + yz + zx σ3(x, y, z) = xyz 3 対称式の基本定理 定理（対称式の基本定理） x1, x2, · · · , xn についての対称式 f(x1, x2, · · · xn) は基本対称式 σ1, σ2, · · · , σn に関する整式 g(σ1, σ2, · · · , σn) として一意に表すことができる. 例えば, 文字が 2 文字のとき ◀ σ1 = x + y, σ2 = xy x2 + y2 = (x + y)2 − 2xy = σ2 1 − 2σ2 y x + x y = x2 + y2 xy = (x + y)2 − 2xy xy = σ2 1 − 2σ2 σ2 文字が 3 文字のとき, ◀ σ1 = x + y + z, σ2 = xy + yz + zx, σ3 = xyz x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 − 2(xy + yz + zx) = σ2 1 − 2σ2 x3 + y3 + z3 = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx) + 3xyz = (x + y + z) { (x + y + z)2 − 3(xy + yz + zx) } + 3xyz = σ1(σ2 1 − 3σ2) − 3σ3 written by faℓ
対称式の基本定理 page. 3 4 基本定理の証明の準備 定理を証明するために, 単項式・多項式に対して辞書式順序というものを定義する. ◀ 本サイト独自の定義. 定義 単項式 X, Y が {X = Axp1 1 xp2 2 · · · xpn n Y = Bxq1 1 xq2 2 · · · xqn n と表されるとき, 以下のように辞書式順序を定める. X は Y より強い(Y は X より弱い) ⇔ 次のいずれかが成立. • p1 > q1 • p1 = q1, p2 > q2 · · · • p1 = q1, p2 = q2, · · · , pn−1 = qn−1, pn > qn x1, · · · , xn に関する多項式 f, g に対し, f が g より強い ⇔ f の項のうち最も強い項が g の項のうち最も強い項より強い. 5 基本定理の証明 まずは f が基本対称式で表せることを示す. k 次の項のみを含む対称式について示す. ◀ 一般の対称式は ∑ k (k 次の対称式) と 表すことができる 対称式 f(x1, · · · , xn) の項のうち, 最も強い項を Axp1 1 xp2 2 · · · xpn n ···················· 1⃝ とする. このとき, f は対称式ゆえ p1 ≧ p2 ≧ · · · ≧ pn ◀ 例 え ば, 文 字 が 3文 字 の と き(p1,p2,p3)=(1, 3, 1) が項として あ れ ば, 対 称 式 ゆ え (3, 1, 1) の項も存在. が成立. ここで, g1(σ1, · · · , σn) = Aσp1−p2 1 σp2−p3 2 · · · σpn n = A ( n ∑ i=1 xi )p1−p2 ∑ i, j xixj p2−p3 · · · (x1x2 · · · xn)pn と g1 を定めると, これは対称式で, 最も強い項は 1⃝ となる. written by faℓ
対称式の基本定理 page. 4 すなわち, f1 = f(x1, · · · , xn) − g1(σ1, · · · , σn) とすれば, f1 は f より弱い. 次に f1 の最強の項について同じことを考える. すなわち, f1 の最強の項と同じ項を持 つ対称式 g2 をもってきて, f2 = f1(x1, · · · , xn) − g2(σ1, · · · , σn) とすれば, f2 は f1 より弱い. これを繰り返すごとに, fn は弱くなっていくので最終的に f = g1(σ1, · · · , σn) + f1(x1, · · · , xn) = g1(σ1, · · · , σn) + g2(σ1, · · · , σn) + f2(x1, · · · , xn) = g1(σ1, · · · , σn) + g2(σ1, · · · , σn) + · · · + gm(σ1, · · · , σn) となり, f は基本対称式のみで表せる. 次に一意性を背理法を用いて示す. f を基本対象式のみで表す式が複数ある, すなわち {f(x1, · · · , xn) = g(σ1, · · · , σn) = g′(σ1, · · · , σn) g(x1, · · · , xn) ̸= g′(x1, · · · , xn) を満たす g, g′ があると仮定する. このとき, h(x1, · · · , xn) = g(x1, · · · , xn) − g′(x1, · · · , xn) とおくと, 仮定より {h(x1, · · · , xn) ̸= 0 h(σ1, · · · , σn) = 0 ···················· 2⃝ ···················· 3⃝ を満たす. 2⃝ より, ある定数 a1, · · · , an が存在して h(a1, · · · , an) ̸= 0 ···················· 4⃝ written by faℓ
対称式の基本定理 page. 5 このとき, 方程式 Xn − a1Xn−1 + a2Xn−2 − · · · + (−1)nan = 0 の解を α1, · · · , αn とすると, 解と係数の関係より
σ1(α1, · · · , αn) = a1 σ2(α1, · · · , αn) = a2 · · · σn(α1, · · · , αn) = an 4⃝ に代入して, h (σ1(α1, · · · , αn), σ2(α1, · · · , αn), · · · , σn(α1, · · · , αn)) ̸= 0 ∴ h(σ1, · · · , σn) ̸= 0 これは 3⃝ に反する. 背理法の仮定が間違っているので, f を基本対称式で表す式は一意であることが導か れる. ■ written by faℓ
