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倍数判定法 page. 1 ♦ 倍数判定法 1 3 の倍数, 9 の倍数 定理 1 (a) 3 の倍数 ⇔ 各位の総和が 3 の倍数 (b) 9 の倍数 ⇔ 各位の総和が 9 の倍数 N が 4 桁の整数のときの証明.1 N = 1000a + 100b + 10c + d とする.(0 ≦ a, b, c, d ≦ 9) (a) N を 3 で (無理矢理) くくる. N = 1000a + 100b + 10c + d = (3 · 333 + 1)a + (3 · 33 + 1)b + (3 · 3 + 1)c + d = 3(333a + 33b + 3c) + (a + b + c + d) 3(333a + 33b + 3c) は 3 の倍数なので, N が 3 の倍数 ⇔ a + b + c + d が 3 の倍数 ここで,a + b + c + d は各位の和である. (b) N を 9 で (無理矢理) くくる. N = 1000a + 100b + 10c + d = (9 · 111 + 1)a + (9 · 11 + 1)b + (9 + 1)c + d = 9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d) 9(111a + 11b + c) は 3 の倍数なので, N が 9 の倍数 ⇔ a + b + c + d が 9 の倍数 ここで,a + b + c + d は各位の和である. 1一般の桁数でも証明は同様. written by faℓ
倍数判定法 page. 2 2 4 の倍数, 25 の倍数, 8 の倍数 定理 2 (a) 4 の倍数 ⇔ 下 2 桁が 4 の倍数 (b) 25 の倍数 ⇔ 下 2 桁が 25 の倍数 (c) 8 の倍数 ⇔ 下 3 桁が 8 の倍数 (a) N = 100n + 10a + b とする.(0 ≦ a, b ≦ 9, n ≧ 0) N を 4 でくくる. N = 100n + 10a + b = 4 · 25n + (10a + b) 4 · 25n は 4 の倍数なので, N が 4 の倍数 ⇔ 10a + b が 4 の倍数 ここで, 10a + b は下 2 桁である. (b) N = 100n + 10a + b とする.(0 ≦ a, b ≦ 9, n ≧ 0) N を 25 でくくる. N = 100n + 10a + b = 25 · 4n + (10a + b) 25 · 4n は 25 の倍数なので, N が 25 の倍数 ⇔ 10a + b が 25 の倍数 ここで, 10a + b は下 2 桁である. (c) N = 1000n + 100a + 10b + c とする.(0 ≦ a, b, c ≦ 9, n ≧ 0) N を 8 でくくる. N = 1000n + 100a + 10b + c = 8 · 125n + (100a + 10b + c) 8 · 125n は 8 の倍数なので, N が 8 の倍数 ⇔ 100a + 10b + c が 8 の倍数 ここで, 100a + 10b + c は下 3 桁である. written by faℓ
倍数判定法 page. 3 3 2n の倍数, 5n の倍数 定理 3 任意の自然数 N について2 (a) N が 2n の倍数 ⇔ N の下 n 桁が 2n の倍数 (b) N が 5n の倍数 ⇔ N の下 n 桁が 5n の倍数 N の桁数 m とすると N = a1 + 101a2 + · · · + 10m−1am と表せる.(0 ≦ ak ≦ 9) m ≦ n のとき,(下 n 桁は N そのものなので) 主張は自明. n < m のとき, N = a1 + 101a2 + · · · + 10n−1an + 10nan+1 + 10n+1an+2 + · · · + 10m−1am (a) 2n でくくると, N = a1 + 101a2 + · · · + 10n−1an + 2n · ( 5nan+1 + 2 · 5n+1an+2 + · · · + 2m−n−1 · 5m−1am ) したがって, N が 2n の倍数 ⇔ a1 + 101a2 + · · · + 10n−1an が 2n の倍数 ⇔ 下 n 桁が 2n の倍数 (b) 5n でくくると, N = a1 + 101a2 + · · · + 10n−1an + 5n · ( 2nan+1 + 5 · 2n+1an+2 + · · · + 5m−n−1 · 2m−1am ) したがって, N が 5n の倍数 ⇔ a1 + 101a2 + · · · + 10n−1an が 5n の倍数 ⇔ 下 n 桁が 5n の倍数 2定理 2 の一般化. written by faℓ
倍数判定法 page. 4 4 11 の倍数 定理 4 11 の倍数 ⇔ 交代和が 11 の倍数 [N が 4 桁の整数のときの証明] N = 1000a + 100b + 10c + d とする.(0 ≦ a, b, c, d ≦ 9) N を 11 で (無理矢理) くくる. N = 1000a + 100b + 10c + d = (11 · 91 − 1)a + (11 · 9 + 1)b + (11 · 1 − 1)c + d = 11(91a + 9b + c) + (−a + b − c + d) 11(91a + 9b + c) は 11 の倍数なので, N が 11 の倍数 ⇔ −a + b − c + d が 11 の倍数 ここで,−a + b − c + d は交代和である. [N が一般の桁数のときの証明] N の桁数 m とすると N = a1 + 101a2 + 102a3 + · · · + 10m−1am と表せる.(0 ≦ ak ≦ 9) ここで, 10 ≡ −1 (mod11) より, N = a1 + 101a2 + 102a3 + · · · + 10m−1am ≡ a1 + (−1)a2 + (−1)2a3 + · · · + (−1)m−1am ≡ a1 − a2 + a3 − · · · + (−1)m−1am したがって, N が 11 の倍数 ⇔ N の交代和が 11 の倍数 written by faℓ
倍数判定法 page. 5 5 7 の倍数 定理 5 7 の倍数 ⇔ 3 桁ずつに区切った交代和が 7 の倍数 定理を書いただけでは解りにくいと思うので, 例を上げる. 例 78456896 が 7 の倍数かどうか判定する. 下から 3 桁ずつに区切ると 78,456,896 となる. この交代和は 78 − 456 + 896 = 518 = 7 × 74 となり 7 の倍数なので,78456896 は 7 の倍数. 3 [N が 6 桁のときの証明] N の上 3 桁を a, 下 3 桁を b とすると, N = 1000a + b = (1001 − 1)a + b = (7 × 143 − 1)a + b = 7 × 143a − (a − b) ここで 7 × 143a は 7 の倍数なので N が 7 の倍数 ⇔ a − b が 7 の倍数 ⇔ N を 3 桁ずつに区切った交代和が 7 の倍数 [N が一般の桁数のときの証明] N の桁数を 3n + m とおく.(m は 0, 1, 2 のいずれか) このとき N は N = a0 + 103a1 + 106a2 + · · · + 103(n−1)an−1 と表せる. ただし 0 ≦ ak ≦ 999. ここで 103 ≡ 1001 − 1 ≡ −1 (mod7) より N = a0 + 103a1 + 106a2 + · · · + 103(n−1)an−1 ≡ a0 + (−1)a1 + (−1)2a2 + · · · + (−1)n−1an−1 ≡ a0 − a1 + a2 − · · · + (−1)n−1an−1 (mod7) したがって, N が 7 の倍数 ⇔ N を 3 桁ずつに区切った交代和が 7 の倍数 3実際 7 × 11208128 = 78456896 written by faℓ
